Các thuật ngữ liên quan Tập hợp sắp thứ tự một phần

Các ví dụ sau sử dụng tập hợp sắp thứ tự một phần ( P ( { x , y , z } ) , ⊆ ) {\displaystyle ({\mathcal {P}}(\{x,y,z\}),\subseteq )} bao gồm tập các tập con của { x , y , z } , {\displaystyle \{x,y,z\},} được xếp theo quan hệ chứa trong (xem hình 1).

a có quan hệ với b khi a ≤ b. Điều này không có nghĩa b cũng có quan hệ với a, bởi vì quan hệ không cần phải đối xứng. Lấy ví dụ, { x } {\displaystyle \{x\}} có quan hệ với { x , y } , {\displaystyle \{x,y\},} nhưng ngược lại thì không.
a và b so sánh được với nhau nếu a ≤ b hoặc b ≤ a. Ngược lại, thì chúng được gọi là không so sánh được với nhau.Ví dụ chẳng hạn, { x } {\displaystyle \{x\}} và { x , y , z } {\displaystyle \{x,y,z\}} so sánh được với nhau, trong khi { x } {\displaystyle \{x\}} và { y } {\displaystyle \{y\}} thì không.
Quan hệ toàn phần hoặc quan hệ tuyến tính là quan hệ thứ tự một phần mà mọi cặp phần tử đều so sánh được với nhau. Ví dụ chẳng hạn như tập số tự nhiên cùng quan hệ thứ tự tự nhiên cú nó.
Xích là tập con có thứ tự toàn phần của tập sắp thứ tự một phần. Ví dụ chẳng hạn,, { { } , { x } , { x , y , z } } {\displaystyle \{\{\,\},\{x\},\{x,y,z\}\}} là một xích.
Phản xích là tập con của tập sắp thứ tự một phần mà trong đó không có hai phần tử phân biệt nào so sánh được với nhau, ví dụ như tập các tập một phần tử { { x } , { y } , { z } } . {\displaystyle \{\{x\},\{y\},\{z\}\}.}
Phần tử a được gọi là nhỏ hơn nghiêm ngặt với phần tử, nếu a ≤ b và a ≠ b . {\displaystyle a\neq b.} Ví dụ, { x } {\displaystyle \{x\}} nhỏ hơn nghiêm ngặt với { x , y } . {\displaystyle \{x,y\}.}
Phần tử a được gọi là phủ bởi phần tử b, được viết là a ⋖ b (hoặc a <: b), nếu a nhỏ hơn nghiêm ngặt với b và không có phần tử thứ ba c nằm giữa chúng, nói dưới dạng hình thức: nếu đồng thời a ≤ b và a ≠ b {\displaystyle a\neq b} , và a ≤ c ≤ b là sai với với mọi c thỏa mãn a ≠ c ≠ b . {\displaystyle a\neq c\neq b.} Dưới thứ tự nghiêm ngặt <, quan hệ a ⋖ b có thể nói như sau "a < b nhưng không a < c < b cho bất kỳ c". Ví dụ chẳng hạn, { x } {\displaystyle \{x\}} được phủ bởi { x , z } , {\displaystyle \{x,z\},} nhưng không được phủ bởi { x , y , z } . {\displaystyle \{x,y,z\}.}

Cực trị

Hình 5. Hình ảnh này là hình số 1 khi bỏ phần tử lớn nhất và nhỏ nhất. Trong tập đã được rút gọn này, hàng trên là của ba phần tử tối đại còn hàng dưới là của ba phần tử tối tiểu. Tập này không có phần tử lớn nhất hay nhỏ nhất.

Có một số khái niệm cho phần tử "lớn nhất" và "nhỏ nhất" trong tập sắp thứ tự một phần P , {\displaystyle P,} nhất là:

Phần tử lớn nhất và nhỏ nhất: Phần tử g ∈ P {\displaystyle g\in P} là phần tử lớn nhất nếu với mọi phần tử a ∈ P , a ≤ g . {\displaystyle a\in P,a\leq g.} Phần tử m ∈ P {\displaystyle m\in P} là phần tử nhỏ nhất nếu với mọi phần tử a ∈ P , m ≤ a . {\displaystyle a\in P,m\leq a.} Tập sắp thứ tự một phần chỉ có một phần tử lớn nhất hoặc nhỏ nhất. Trong ví dụ trước, tập { x , y , z } {\displaystyle \{x,y,z\}} phần tử lớn nhất còn { } {\displaystyle \{\,\}} là phần tử nhỏ nhất.
Phần tử tối đại và phần tử tối tiểu: Phần tử g ∈ P {\displaystyle g\in P} là phần tử tối đại nếu không có phần tử a ∈ P {\displaystyle a\in P} sao cho a > g . {\displaystyle a>g.} Tương tự như vậy, phần tử m ∈ P {\displaystyle m\in P} là phần tử tối tiểu nếu không có phần tử a ∈ P {\displaystyle a\in P} sao cho a < m . {\displaystyle a<m.} Nếu tập sắp thứ tự một phần có phần tứ lớn nhất đó thì phần tử đó là phần tử tối đại duy nhất, nhưng nếu không thì có thể có nhiều hơn một phần tử tối đại, và tương tự như vậy cho phần tử nhỏ nhất và phần tử tối tiểu. Ở ví dụ trước, { x , y , z } {\displaystyle \{x,y,z\}} và { } {\displaystyle \{\,\}} là phần tử lớn nhất và nhỏ nhất tương ứng. Bỏ hai phần tử này đi thì sẽ có 3 phần tử tối đại và 3 phần tử tối tiểu (xem hình 5).
Cận trên và dưới: Cho tập con A của P, phần tử x thuộc P là cận trên của A nếu a ≤ x, với mỗi phần tử a thuộc A. Cụ thể hơn, x không nhất thiết phải nằm trong A để trở thành cận trên của A. Tương tự như vậy, phần tử x thuộc P là cận dưới của A nếu a ≥ x, với mỗi phần tử a thuộc A. Phần tử lớn nhất của P cũng là cận trên của P, và phần tử nhỏ nhất là cận dưới của P. Trong ví dụ dang làm, tập { x , y } {\displaystyle \{x,y\}} là cận trên cho tập các phần tử { { x } , { y } } . {\displaystyle \{\{x\},\{y\}\}.}

Hình 6. Các số nguyên không âm được sắp thứ tự theo tính chia hết

Giống với ví dụ trên, xét tập số các số nguyên dương được sắp theo tính chia hết:: 1 là phần tử nhỏ nhất, bởi nó là ước của mọi số còn lại, tập này không có phần tử lớn nhất (tuy nhiên nếu ta cho số 0 vào thì số 0 trở thành phần tử lớn nhất vì nó là bội của bất kỳ số nguyên, xem hình 6). Tập sắp thứ tự một phần này không có phần tử tối đại nào vì bất kỳ g đều sẽ là ước của số khác (chẳng hạn như 2g), phân biệt với nó, do đó g không tối đại. Nếu số 1 được bỏ đi mà vẫn giữa tính chia hết cũng như thứ tự của các số lớn hơn một, thì tập sắp thứ tự một phần thu được không có phần tử nhỏ nhất nhưng bất kỳ số nguyên tố là phần tử tối tiểu của nó. Trong tập sắp thứ tự một phần này, 60 là cận trên (nhưng chưa phải cận trên nhỏ nhất) của tập con { 2 , 3 , 5 , 10 } , {\displaystyle \{2,3,5,10\},} tập con này không có cận dưới (vì số 1 không còn trong tập khác); mặt khác, số 2 là cận dưới của tập con chứa các lũy thừa của 2, tập con này không có cận trên.